|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Oneindige producten en convergentie
We moeten rechtstreeks bewijzen dat de volgende metrieken niet equivalent zijn:
1) d(x,y)= |x-y|/(1+|x-y|)
2) d(x,y)= |x/(1+|x|)-y/(1+|y||
De twee metrieken zijn niet equivalent als ze niet dezelfde cauchyrijen hebben.
Ik weet dat in de eerste metriek niet elke rij een limiet heeft in R bv. rij (x_n)=n voor elke n. Deze rij is dan een cauchyrij maar ze heeft geen limiet in R want er bestaat geen getal a waarvoor a/(1+|a|)=1.
In de tweede metriek heeft wel elke cauchyrij een limiet.
Hoe kunnen we nu echter rechtstreeks aantonen dat de twee metrieken niet equivalent zijn?
Vriendelijke groeten
Bjorn
Antwoord
Hallo Bjorn,
Ik ben het niet met je eens wat het voorbeeld betreft.
De rij (Xn) met Xn = n is geen Cauchyrij in de eerste metriek, want bv d(Xn,Xn+1) = 1/2 voor alle n en dat kan niet bij een Cauchyrij.
In de tweede metriek is deze rij echter wel een C-rij.
Dit voorbeeld zegt dan meteen dat de beide metrieken niet dezelfde c-rijen hebben.
Als je er nog even verder over nadenkt zie je ook dat de eerste metriek equivalent is met de gewone metriek in de reele getallen, d(x,y) = |x - y| In deze metriek is iedere C-rij convergent.
In de tweede metriek zijn er meer C-rijen, bv rijen (Xn ) waarbij Xn naar oneindig wegloopt, deze hebben dan geen limiet in R.
Succes ermee. gegroet
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
